Question

設f(x)=,其中a為正實數.
(1)當a=時,求f(x)的極值點.
(2)若f(x)為[,]上的單調函數,求a的取值范圍.

Answer 1

(1) x₁=是極大值點,x₂=是極小值點   (2) 0<a≤1或a≥

f'(x)=.
(1)當a=時,若f'(x)=0,則4x²-8x+3=0x₁=,x₂=,則

x	(-∞,)		(,)		(,+∞)
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴x₁=是極大值點,x₂=是極小值點.
(2)記g(x)=ax²-2ax+1,則
g(x)=a(x-1)²+1-a,
∵f(x)為[,]上的單調函數,
則f'(x)在[,]上不變號,
∵>0,
∴g(x)≥0或g(x)≤0對x∈[,]恒成立,
又g(x)的對稱軸為x=1,故g(x)的最小值為g(1),最大值為g().
由g(1)≥0或g()≤00<a≤1或a≥,
∴a的取值范圍是0<a≤1或a≥.