Question

【題目】已知函數．

（）若，求曲線在點處的切線方程．

（）求函數的單調區間．

（）設函數，若對于任意，都有成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（）．（）見解析．（）．

【解析】試題分析： 求出，計算出， 的值，求出切線方程即可； 求出函數的導數，通過討論的范圍，求出函數的單調區間即可； 問題等價于，令，求出的最大值，從而求出實數的取值范圍。

解析：（）∵，

，

，

，

∴在處切線方程為．

（）∵，

令，即，

解出或．

①當時（即時），

由得或，

由得，

∴的增區間為， ，減區間為，

②當（即時），

由得或，

由得，

∴增區間為， ，減區間為．

③當，即時，

，在上恒成立，

∴的增區間為無減區間．

綜上， 時， 增區間為， ，減區間為，

時， 增區間為， 減區間為，

時， 增區間為，無減區間．

（）∵，有恒成立，

則，即，

令，當時，

， ，

∵當時， ，

在上單調遞增，

∴．

∴，

∴．