Question

【題目】已知三棱柱中，，，，，，分別為棱的中點

（1）求證：

（2）求直線與所成的角

（3）若為線段的中點，在平面內的射影為，求

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）45°；（3）．

【解析】

（1）由AC⊥AB，AC⊥AA1即可得出AC⊥平面ABB1A1，于是AC⊥A1B；

（2）以A為原點建立坐標系，求出和 的坐標，計算cos即可得出直線EF與A1B所成的角；

（3）求出和平面EFG的法向量，則sin∠HA1A＝|cos，|．

（1）∵AA1⊥底面ABC，AC平面ABC

∴AC⊥AA1．

∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB．

又A1A平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，A1A∩AB＝A，

∴AC⊥平面A1ABB1．

∵A1B平面A1ABB1，

∴AC⊥A1B．

（2）以A為原點建立空間直角坐標系A—xyz，如圖所示：

則A1（0，0，1），，，．

∴，．

∴．

直線EF與A1B所成的角為45°．

（3），，．（0，0，1）．

設平面GEF的法向量為（x，y，z），

則 ，∴

令，則．

∴cos．

∵A1在平面EFG內的射影為H，∴∠HA1A為AA1與平面EFG所成的角的余角，

∴cos∠HA1A＝|cos|．

∴∠HA1A．