已知正四棱柱
中，
.
（1）求證：
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）在線段
上是否存在點
，使得平面
平面
，若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
（1）詳見解析；（2）
（3）存在，
解析試題分析：（1）可證
平面
，從而可得。（2）（空間向量法）以
為原點建立空間直角坐標系
，如圖。根據邊長可得各點的坐標，從而可得各向量的坐標，根據向量垂直數量積為0可求平面
的法向量，由（1）知平面，所以
即為平面的法向量，先求兩法向量所成角的余弦值，但應注意兩法向量所成的角與二面角的平面角相等或互補，觀察可知此二面角為鈍角，所以此二面角的余弦值應為負數。（3）設
為線段上一點,且
，根據向量共線，可用
表示出點坐標。分別求兩個面的法向量，兩面垂直，則兩法向量也垂直，即數量積為0，從而可得的值，若所得在
內說明存在點滿足條件，否則說明不存在。
證明：（1）因為為正四棱柱，
所以
平面
，且為正方形. 1分
因為
平面，
所以
. 2分
因為
,
所以平面. 3分
因為
平面,
所以. 4分
（2）如圖，以為原點建立空間直角坐標系.則
5分
所以
.
設平面的法向量
.
所以 
.即
6分
令
，則
.
所以
.
由（1）可知平面
的法向量為
. 7分
所以
. 8分
因為二面角為鈍二面角，
所以二面角的余弦值為. 9分
（3）設為線段
教材全解字詞句篇系列答案湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com
中，底面
是平行四邊形，
，
平面
，
，
是
的中點.
平面
； 
與平面
所成銳二面角的余弦值.
中,
.
為平行四邊形,
, 
, 
分別是
與
的中點.
;
的平面角的余弦值.
的底面為等腰直角三角形，
，
，
分別是
的中點。求異面直線
和
所成角的大小。
中，底面
為平行四邊形，
底面
平面
;
大小為
，求
與平面
所成角的正弦值.
中，
⊥底面
，底面
為側棱
上一點.
，求證：
平面
； 
，求證：平面
.
中，
底面
，
，
為
的中點， 
為
的中點，
，
.
平面
；
與平面
成角的正弦值；
在線段
上，且
，
平面
，求實數
的值.
中，已知
的直徑
的中點．
的余弦值．
為正方形，四邊形
是直角梯形，
，
平面
．
平面
；
與平面