Question

【題目】已知四棱錐，底面為正方形，且底面，過的平面與側面的交線為，且滿足（表示的面積）.

（1）證明： 平面；

（2）當時，二面角的余弦值為，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）由正方形性質可得，從而得平面 ，根據線面平行的性質定理可得，由三角形中位線定理可得，進而根據線面平行的判定定理可得平面；（2）∵底面為正方形，且底面， 兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標系，設， ，分別求出平面的一個法向量及平面 的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得，從而可得結果.

試題解析：（1）由題知四邊形ABCD為正方形

∴AB//CD，又平面PCD，AB平面PCD

∴AB//平面PCD

又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF

∴EF // AB，又AB//CD

∴EF //CD，

由S△PEF：S四邊形CDEF=1:3知E、F分別為PC、PD的中點

連接BD交AC與G，則G為BD中點，

在△PBD中EG為中位線，∴ EG//PB

∵ EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE

∴PB//平面ACE.

（2）∵底面ABCD為正方形，且PA⊥底面ABCD，

∴PA、AB、AD兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標系A-xyz，

設AB=AD=2a，AP=2b，則A（0，0，0），D（0，2a，0），C（2a，2a，0）

G（a，a，0），P（0，0，2b），F（a，a，b），

∵PA⊥底面ABCD，DG底面ABCD，∴DG⊥PA ，

∵四邊形ABCD為正方形∴AC⊥BD,即DG⊥AC，AC∩PA=A

∴DG⊥平面CAF，

∴平面CAF的一個法向量為

設平面AFD的一個法向量為而

由得 取可得

為平面AED的一個法向量，

設二面角C—AF—D的大小為

則得

又 ∴

∴當二面角C—AF—D的余弦值為時.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.