Question

（1）已知平面上兩定點A（-2，0）、B（2，0），且動點M的坐標滿足=0，求動點M的軌跡方程；
（2）若把（1）的M的軌跡圖象向右平移一個單位，再向下平移一個單位，恰與直線x+ky-3=0 相切，試求實數k的值；
（3）如圖1，l是經過橢圓長軸頂點A且與長軸垂直的直線，E、F是兩個焦點，點P∈l，P不與A重合．若∠EPF=α，證明：．類比此結論到雙曲線，l是經過焦點F且與實軸垂直的直線，A、B是兩個頂點，點P∈l，P不與F重合（如圖2）．若∠APB=α，試求角α的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設點M為（x，y），利用坐標表示向量，代入題目中的條件得x²+y²=4，即得到點M的軌跡方程．
（2）由題意圖象向右平移一個單位，再向下平移一個單位得到新的圓的方程（x-1）²+（y+1）²=4，根據其與直線x+ky-3=0 相切可得k=0或
（3）由題得α=∠EPA-∠FPA，所以tanα=tan（∠EPA-∠FPA），可得；類比橢圓的證明方法得到雙曲線
的類似的性質 ．
解答：解：（1）設M（x，y），
由得x²+y²=4，
此即點M的軌跡方程．…（3分）
（2）將x²+y²=4向右平移一個單位，再向下平移一個單位后，
得到圓（x-1）²+（y+1）²=4…（5分）
依題意有，得k=0或…（8分）
（3）（ⅰ）證明：不妨設點P在A的上方，并設P（a，t）（t＞0），
則…（10分）
所以…（12分）
所以．顯然α為銳角，即：…（14分）
（ⅱ）不妨設點P在F的上方，并設P（c，t）（t＞0），
則，
所以
由于tanα＞0且，α為銳角，故．…（18分）
點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的位置關系，主要考查軌跡方程的求解，考查圖象變換，考查直線與圓的位置關系，解題的關鍵是把向量條件坐標化，熟練掌握直線與圓的位置關系以及橢圓與雙曲線的幾何性質．