Question

已知函數f（x）=log₂（x+a）．
（1）若0＜f(1-2x)-f(x)＜

1

2

，當a=1時，求x的取值范圍；
（2）若定義在R上奇函數g（x）滿足g（x+2）=-g（x），且當0≤x≤1時，g（x）=f（x），求g（x）在[-3，-2]上的反函數h（x）；
（3）若關于x的不等式f(tx2-a+1)+f(

1

5-2x

-a)＞0在區間[

1

2

，2]上有解，求實數t的取值范圍．

Answer 1

（1）原不等式可化為0＜log2(2-2x)-log2(x+1)＜

1

2

…（1分）
所以1＜

2-2x

x+1

＜

2

且2-2x＞0且x+1＞0…（2分）
得3-2

2

＜x＜

1

3

…（2分）
（2）因為g（x）是奇函數，所以g（0）=0，得a=1…（1分）
當x∈[-3，-2]時，-x-2∈[0，1]g（x）=-g（x+2）=g（-x-2）=log₂（-x-1）…（2分）
此時g（x）∈[0，1]，x=-2^g（x）-1，所以h（x）=-2^x-1（x∈[0，1]）…（2分）
（3）由題意log2(tx2+1)+log2

1

5-2x

＞0，…（1分）
即log2(tx2+1)＞log2(5-2x)…（1分）
所以不等式tx²＞4-2x在區間[

1

2

，2]上有解，
即t＞(

4

x2

-

2

x

)min=0…（3分）
所以實數t的取值范圍為（0，+∞）…（1分）