Question

25、已知p：x²-4x+3＜0，q：x²-（m+1）x+m＜0，（m＞1）．
（1）求不等式x²-4x+3＜0的解集；
（2）若p是q的充分不必要條件，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分解因式得（x-1）（x-3）＜0進而可求得不等式的范圍為1＜x＜3．
（2）由題意得：因為不等式分解為（x-m）（x-1）＜0所以討論m與1的大小．當m＞1時，不等式x²-（m+1）x+m＜0的解是1＜x＜m，由題意得x²-4x+3＜0的解集是x²-（m+1）x+m＜0，（m＞1）解集的真子集，進而可得答案．同理討論當m＜1時的情況．

解答：解：（1）因為x²-4x+3＜0，所以（x-1）（x-3）＜0，所以1＜x＜3．
所求解集為{x|1＜x＜3}．
（2）由題意得：（x-m）（x-1）＜0
當m＞1時，
不等式x²-（m+1）x+m＜0的解是1＜x＜m，
因為p是q的充分不必要條件，
所以x²-4x+3＜0的解集是x²-（m+1）x+m＜0，（m＞1）解集的真子集．
所以m＞3．
當m＜1時，
不等式x²-（m+1）x+m＜0的解是m＜x＜1，
因為p是q的充分不必要條件，
所以x²-4x+3＜0的解集是x²-（m+1）x+m＜0，（m＜1）解集的真子集．
因為當m＜1時 {x|1＜x＜3}∩{x|m＜x＜1}=?，
所以m＜1時p是q的充分不必要條件不成立．
綜上，m的取值范圍是（3，+∞）．

點評：本題是借助于解含參數的不等式考查充要條件的知識，解決含參數的不等式常用的方法是求出對應方程的根再討論兩個根的大小即可，而判斷充要條件時可以把問題轉化為兩個集合之間的關系．