Question

如圖，直棱柱（側棱垂直于底面的棱柱）ABC-A₁B₁C₁，在底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M，N分別為A₁B₁，A₁A的中點．
（1）求cos＜

BA1

，

CB1

＞的值；
（2）求證：BN⊥平面C₁MN．

Answer 1

以C為原點，CA，CB，CC₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的坐標系C-xyz，
（1）依題意，A₁（1，0，2），C（0，0，0），B₁（0，1，2），B（0，1，0），
∴

BA1

=（1，-1，2），

CB1

=（0，1，2），
∴

BA1

•

CB1

=1×0+（-1）×1+2×2=3，
又|

BA1

|=

6

，|

CB1

|=

5

，
∴cos＜

BA1

，

CB1

＞=

BA1 • CB1

| BA1 |•| CB1 |

=

30

10

…6分
證明：（2）A₁（1，0，2），C₁（0，0，2），B₁（0，1，2），N（1，0，1），
∴M（

1

2

，

1

2

，2），∴

C1M

=（

1

2

，

1

2

，2），

C1N

=（1，0，-1），

BN

=（1，-1，1），
∴

C1M

•

BN

=

1

2

×1+

1

2

×（-1）+1×0=0，同理可求

C1N

•

BN

=0，
∴

C1M

⊥

BN

，

C1N

⊥

BN

，C₁M∩C₁N=C₁，
∴BN⊥平面C₁MN…12分．