Question

已知函數f（x）=1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x；g（x）=

1-m•2x

1+m•2x

．
（1）若對任意x∈[0，+∞），總有f（x）＞0成立，求實數a的取值范圍；
（2）若m＞0（m為常數），且對任意x∈[0，1]，總有|g（x）|≤M成立，求M的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令t=(

1

2

)x，可得 0＜t≤1，且 t²+at+1＞0恒成立，由△=a²-4＜0 實數a的取值范圍．
（2）令2^x=h，可得h∈[1，2]，且|

1-mh

1+mh

|≤M恒成立．根據m＞0，而|

1-mh

1+mh

|=|-1+

2

1+mh

|≤1+

2

1+m

，可得 1+

2

1+m

≤M，
從而得到M的取值范圍．

解答：解：（1）令t=(

1

2

)x，∵x∈[0，+∞），∴0＜t≤1，且 t²+at+1＞0恒成立，∴△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2，
故實數a的取值范圍為（-2，2）．
（2）令2^x=h，則當x∈[0，1]時，h∈[1，2]，|

1-mh

1+mh

|≤M恒成立．
∵m＞0，而|

1-mh

1+mh

|=|-1+

2

1+mh

|≤1+

2

1+mh

≤1+

2

1+m

，∴1+

2

1+m

≤M，
故M的取值范圍為[1+

2

1+m

，+∞）．

點評：本題主要考查復合函數的單調性的應用，體現了轉化的數學思想，函數的恒成立問題，屬于中檔題．