Question

設函數f(x)=ax2-2

4+2b-b2

x，g(x)=-

1-(x-a)2

，a，b∈R．
（1）當b=0時，已知f（x）在[2，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍；
（2）當a是整數時，存在實數x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，且g（x₀）是g（x）的最小值，求所有這樣的實數對（a，b）；
（3）定義函數h（x）=-（x-2k）²-2（x-2k），x∈（2k-2，2k），k=0，1，2，…，則當h（x）取得最大值時的自變量x的值依次構成一個等差數列，寫出該等差數列的通項公式（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）先求出函數f（x）的解析式，然后討論a是否為0，根據f（x）在[2，+∞）上單調遞增，建立關系式，解之即可；
（2）若a=0，則f（x）無最大值，不合題意，于是f（x）為二次函數，根據f（x）有最大值建立關系式，求出取最大值時x的值，于是a²=

4+2b-b2

=

5-(b-1)2

又a∈Z，a＜0，可求符號條件的a、b；
（3）將函數h（x）進行配方可知函數h（x）取得最小值時x的值為2k-1（k∈N），從而求出該等差數列的通項公式．

解答：解：（1）當b=0 時，f（x）=ax²-4x，（1分）
若a=0，則f（x）=-4x 在[2，+∞） 上遞減，不合題意，舍去；（2分）
故a≠0，要使f（x） 在[2，+∞） 上單調遞增，則

a＞0 4 2a ≤2

，即a≥1；（6分）
（2）若a=0，則f（x）=-2

4+2b-b2

x無最大值，不合題意，故a≠0，（7分）
于是f（x）為二次函數，f（x）有最大值⇒

a＜0 4+2b-b2≥0

⇒

a＜0 1- 5 ≤b≤1+ 5

，（9分）
此時，當x=x₀=

4+2b-b2

a

時，f（x）取到最大值，（10分）
顯然，當且僅當x=x₀=a時，g（x）取到最小值，故

4+2b-b2

a

=a∈Z，（11分）
于是a²=

4+2b-b2

=

5-(b-1)2

≤

5

(12分)
又a∈Z，a＜0，所以a=-1，b=-1，3，（13分）
所以滿足題意的實數對為（a，b）=（-1，-1），或（a，b）=（-1，3）；（14分）
（3）∵h（x）=-x²+4kx-4k²-2x+k=-[x-（2k-1）]²+1（16分）
∴h（x）取得最小值時x的值為2k-1（k∈N），∴x_n=2n-3，n∈N^*．（18分）

點評：本題主要考查了函數的單調性以及函數的最值，同時考查了等差數列的應用，屬于中檔題．