Question

設(shè)函數(shù)f(x)=ax-

b

x

，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）欲求函數(shù)f（x）的解析式，只須求出切線斜率的值及f（2），列出方程組即可；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0對(duì)應(yīng)區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)小于0對(duì)應(yīng)區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）方程7x-4y-12=0可化為y=

7

4

x-3．
當(dāng)x=2時(shí)，y=

1

2

．又f′(x)=a+

b

x2

，
于是

2a- b 2 = 1 2 a+ b 4 = 7 4

解得

a=1 b=3

，故f(x)=x-

3

x

．
（2）由f(x)=x-

3

x

得：f′（x）=1+

3

x2

，當(dāng)x≠0時(shí)，恒大于0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）上都是單調(diào)遞增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．屬于基礎(chǔ)題．