Question

若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。

已知是實(shí)數(shù)，1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)．

（1）求和的值；

（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值點(diǎn)；

（3）設(shè)，其中，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

（1）。      （2）的極值點(diǎn)是－2    （3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5 個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有9 個(gè)零點(diǎn)。

【考點(diǎn)】函數(shù)的概念和性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

【解析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)代入列方程組求解即可。

       （2）由（1）得，，求出，令，求解討論即可。

       （3）比較復(fù)雜，先分和討論關(guān)于 的方程 根的情況；再考慮函數(shù)的零點(diǎn)

解：（1）由，得。

                ∵1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，

                ∴ ，，解得。

           （2）∵ 由（1）得， ，

                ∴，解得。

                ∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

                ∴是的極值點(diǎn)。

                ∵當(dāng)或時(shí)，，∴ 不是的極值點(diǎn)。

                ∴的極值點(diǎn)是－2。

（3）令，則。

 先討論關(guān)于 的方程 根的情況：

當(dāng)時(shí)，由（2 ）可知，的兩個(gè)不同的根為I 和一2 ，注意到是奇函數(shù)，∴的兩個(gè)不同的根為一和2。

當(dāng)時(shí)，∵， ，

∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。

由（1）知。

① 當(dāng)時(shí)， ，于是是單調(diào)增函數(shù)，從而。

此時(shí)在無實(shí)根。

② 當(dāng)時(shí)．，于是是單調(diào)增函數(shù)。

又∵，，的圖象不間斷，

∴ 在（1 , 2 ）內(nèi)有唯一實(shí)根。

同理，在（一2 ，一I ）內(nèi)有唯一實(shí)根。

③ 當(dāng)時(shí)，，于是是單調(diào)減兩數(shù)。

又∵， ，的圖象不間斷，

∴在（一1，1 ）內(nèi)有唯一實(shí)根。

因此，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的根滿足；當(dāng) 時(shí)

有三個(gè)不同的根，滿足。

現(xiàn)考慮函數(shù)的零點(diǎn)：

( i ）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，滿足。

而有三個(gè)不同的根，有兩個(gè)不同的根，故有5 個(gè)零點(diǎn)。

( 11 ）當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的根，滿足。

而有三個(gè)不同的根，故有9 個(gè)零點(diǎn)。

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5 個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有9 個(gè)零點(diǎn)