Question

【題目】已知函數

（1）當時，求函數在處的切線方程；

（2）若函數在定義域上具有單調性，求實數的取值范圍；

（3）求證：

Answer 1

【答案】（1） （2）a≤2．（3）詳見解析

【解析】試題分析：（1）由導數幾何意義得切線斜率等于該點處導數值，再利用點斜式求切線方程，（2）先按單調遞增與單調遞減分類討論，再將函數單調性轉化為函數導數值恒非負或非正，利用變量分離轉化為求對應函數最值，進而確定實數的取值范圍；（3）利用導數證明數列求和不等式，一般方法為先構造目標函數（利用前面小題的結論），再代入數列，利用裂項相消法放縮求和，進而得證不等式.

試題解析：（1）當a=1時，f（x）=（x+1）lnx﹣x+2，（x＞0），

f′（x）=lnx+，f′（1）=1，f（1）=1，

所以求在x=1處的切線方程為：y=x

（2）f′（x）=lnx++1﹣a，（x＞0）．

（i）函數f（x）在定義域上單調遞減時，

即a≥lnx+時，令g（x）=lnx+，

當x＞ea時，g′（x）＞0，不成立；

（ii）函數f（x）在定義域上單調遞增時，a≤lnx+；

令g（x）=lnx+，

則g′（x）=，x＞0；

則函數g（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增；

所以g（x）≥2，故a≤2．

（3）由（ii）得當a=2時f（x）在（1，+∞）上單調遞增，

由f（x）＞f（1），x＞1得（x+1）lnx﹣2x+2＞0，

即lnx＞在（1，+∞）上總成立，

令x=得ln＞，

化簡得：ln（n+1）﹣lnn＞，

所以ln2﹣ln1＞，

ln3﹣ln2＞，…，

ln（n+1）﹣lnn＞，

累加得ln（n+1）﹣ln1＞，

即命題得證．