Question

（1）寫出一元二次方程ax²+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根的充要條件
（2）二次函數(shù)y=ax²+bx+c的系數(shù)在集合A={-2，-1，0，1，2，3}中取值，且a，b，c互不相等，則共有多少條拋物線與x
軸的正、負(fù)半軸都有交點？
（3）在（2）的條件下，任取一條拋物線它恰與x軸的正、負(fù)半軸都有交點的概 率為多少？
（要求列出算式并寫出結(jié)果，若無算式或算式不正確均不給分）

Answer 1

解：（1）一元二次方程ax²+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根的充要條件是：ac＜0
先看充分性：當(dāng)ac＜0時，方程根的判別式△=b²-4ac＞0，
并且方程ax²+bx+c=0的兩根之積為x₁•x₂=＜0，因此方程ax²+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根的兩根；
再看必要性：當(dāng)一元二次方程ax²+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根時，不妨設(shè)x₁＜0且x₂＞0
則有兩根之積為x₁•x₂=＜0，所以ac＜0．
綜上所述，可得一元二次方程ax²+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根的充要條件是：ac＜0．
（2）拋物線與x軸的正、負(fù)半軸都有交點，可得方程ax²+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根，由（1）可知a、c的取值應(yīng)該是一正一負(fù)．
因此先取a、c的值：在-2、-1中取一個數(shù)，再在1、2、3中取一個數(shù)，分別作為a、c的值，共2×3×2=12種取法；
再取b的值，有4種取法，所以a、b、c的取法一共有12×4=48種取法．
綜上所述，共有48條拋物線與x軸的正、負(fù)半軸都有交點．
（3）因為a≠0，所以a的取值有-2，-1，1，2，3共五種取法，
再給b取值：由-2，-1，1，2，3剩下的4個值，再加上0，也有五種取法，
最后給c取值，共有4種取法．因此總共有5×5×4=100種不同的a、b、c的取法．
而根據(jù)（2）知，符合題意的a、b、c的取法共有48種，
所以任取一條拋物線它恰與x軸的正、負(fù)半軸都有交點的概率為P==0.48
分析：（1）首先給出題中的充要條件是：ac＜0．再給予證明，充分性：當(dāng)ac＜0時，由一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得兩根之積為負(fù)數(shù)，從而方程ax²+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根；必要性：當(dāng)一元二次方程ax²+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根時，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，不難得到ac＜0．
（2）由（1）的結(jié)論，可得取出來的a、b、c值滿足ac＜0即可，因此先取a、c的值，共2×3×2=12種取法；再取b的值，有4種取法，所以a、b、c的取法一共有12×4=48種取法．可得共48條拋物線與x軸的正、負(fù)半軸都有交點．
（3）先計算所有的系數(shù)a、b、c種數(shù)：因為a≠0，所以a的取值共五種取法，再給b取值，因為b可以取0，所以也有五種取法，最后給c取值，共有4種取法．因此總共有5×5×4=100種不同的a、b、c的取法．而根據(jù)（2）知，符合題意的a、b、c的取法共有48種，最后利用隨機(jī)事件的概率公式，得到所求事件的概率為0.48．
點評：本題給出一元二次方程ax²+bx+c=0，通過探討它有一正一負(fù)根的問題展開研究，求與x軸的正、負(fù)半軸都有交點的拋物線的條數(shù)，著重考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、排列組合的乘法原理和隨機(jī)事件的概率等知識點，屬于中檔題．