Question

（2013•鎮江一模）已知橢圓O的中心在原點，長軸在x軸上，右頂點A（2，0）到右焦點的距離與它到右準線的距離之比為

3

2

．不過A點的動直線y=

1

2

x+m交橢圓O于P，Q兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）證明P，Q兩點的橫坐標的平方和為定值；
（3）過點 A，P，Q的動圓記為圓C，動圓C過不同于A的定點，請求出該定點坐標．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的第二定義及其頂點坐標即可得出；
（2）把直線方程代人橢圓方程，利用根與系數的關系即可得出；
（3）解法一：設圓的一般方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，則圓心為（-

D

2

，-

E

2

），利用弦的垂直平分線經過圓心、過定點A及經過點P、Q，即可求出定點．
解法二：設圓的一般方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，將y=

1

2

x+m代入的圓的方程：

5

4

x2+(m+D+

E

2

)x+m2+mE+F=0   ⑤．方程①與方程⑤為同解方程得到.

1

5 4

=

2m

m+D+ E 2

=

2(m2-1)

m2+mE+F

，以下同解法一．

解答：（1）解：設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由題意得a=2，e=

3

2

．
∴c=

3

，b=1，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+y2=1．
（2）證明：設點P(

x

1

，y1)，Q(

x

2

，y2)
將y=

1

2

x+m代入橢圓，化簡得：x²+2mx+2（m²-1）=0  ①，
∴x1+x2=-2m，x1x2=2(m2-1)，
∴

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x2)2-2x1x2=4，
∴P，Q兩點的橫坐標的平方和為定值4．
（3）（法一）設圓的一般方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，則圓心為（-

D

2

，-

E

2

），
PQ中點M（-m，

m

2

），PQ的垂直平分線的方程為：y=-2x-

3

2

m，
圓心（-

D

2

，-

E

2

）滿足y=-2x-

3

2

m，∴-

E

2

=D-

3

2

m  ②，
圓過定點（2，0），∴4+2D+F=0  ③，
圓過P(

x

1

，y1)，Q(

x

2

，y2)，則

x12+y12+Dx1+Ey1+F=0 x22+y22+Dx2+Ey2+F=0

兩式相加得：x12+x22+y12+y22+Dx1+Dx2+Ey1+Ey2+2F=0，
x12+x22+(1-

x1

4

2)+(1-

x2

4

2)+D(x1+x2)+E(y1+y2)+2F=0，
∵y₁+y₂=m，∴5-2mD+mE+2F=0  ④．
∵動直線y=

1

2

x+m與橢圓C交與P，Q（均不與A點重合）∴m≠-1，
由②③④解得：D=

3(m-1)

4

，   E=

3

2

m+

3

2

， F=-

3

2

m-

5

2

，
代入圓的方程為：x2+y2+

3(m-1)

4

x+(

3

2

m+

3

2

)y-

3

2

m-

5

2

=0，
整理得：(x2+y2-

3

4

x+

3

2

y-

5

2

)+m(

3

4

x+

3

2

y-

3

2

)=0，
∴

x2+y2- 3 4 x+ 3 2 y- 5 2 =0 3 4 x+ 3 2 y- 3 2 =0

   解得：

x=0 y=1

或

x=2 y=0

（舍）．
所以圓過定點（0，1）．
（法二） 設圓的一般方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
將y=

1

2

x+m代入的圓的方程：

5

4

x2+(m+D+

E

2

)x+m2+mE+F=0   ⑤．
方程①與方程⑤為同解方程.

1

5 4

=

2m

m+D+ E 2

=

2(m2-1)

m2+mE+F

，
圓過定點（2，0），∴4+2D+F=0，
∵動直線y=

1

2

x+m與橢圓C交與P，Q（均不與A點重合）∴m≠-1．
解得：D=

3(m-1)

4

，E=

3

2

m+

3

2

，F=-

3

2

m-

5

2

，（以下相同）

點評：本題考查圓錐曲線的基本量間關系、直線與圓錐曲線的位置關系；考查定點定值問題；考查運算求解能力和推理論證能力．