Question

對于函數(shù)f（x）和g（x），若存在常數(shù)k，m，對于任意x∈R，不等式f（x）≥kx+m≥g（x）都成立，則稱直線
y=kx+m是函數(shù)f（x），g（x）的分界線．已知函數(shù)f（x）=e^x（ax+1）（e為自然對數(shù)的底，a∈R為常數(shù)）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)a=1，試探究函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=-x²+2x+1是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′（x）=e^x（ax+1+a），當a＞0時，f′（x）＞0?函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1-

1

a

，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-∞，-1-

1

a

）上是減函數(shù)；a=0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是區(qū)間（-∞，+∞）上的增函數(shù)；當a＜0時，f′（x）＞0?ax＞-a-1，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1-

1

a

）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-1-

1

a

，+∞）上是減函數(shù)．
（Ⅱ）若存在，則e^x（x+1）≥kx+m≥-x²+2x+1恒成立，令x=0，得m=1，因此x²+（k-2）x≥0恒成立，由此及彼能推導出函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=-x²+2x+1存在“分界線”．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=e^x（ax+1+a），（2分）
當a＞0時，f′（x）＞0?ax＞-a-1，即x＞-1-

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a

，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1-

1

a

，+∞）上是增函數(shù)，
在區(qū)間（-∞，-1-

1

a

）上是減函數(shù)；（3分）
當a=0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是區(qū)間（-∞，+∞）上的增函數(shù)；（5分）
當a＜0時，f′（x）＞0?ax＞-a-1，即x＜-1-

1

a

，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1-

1

a

）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-1-

1

a

，+∞）上是減函數(shù)．（7分）
（Ⅱ）若存在，則e^x（x+1）≥kx+m≥-x²+2x+1恒成立，
令x=0，則1≥m≥1，
所以m=1，（9分）
因此：kx+1≥-x²+2x+1恒成立，即x²+（k-2）x≥0恒成立，
由△≤0得到：k=2，
現(xiàn)在只要判斷e^x（x+1）≥2x+1是否恒成立，（11分）
設(shè)∅（x）=e^x（x+1）-（2x+1），
因為：∅′（x）=e^x（x+2）-2，
當x＞0時，e^x＞1，x+2＞2，∅′（x）＞0，
當x＜0時，e^x（x+2）＜2e^x＜2，∅′（x）＜0，
所以∅（x）≥∅（0）=0，即e^x（x+1）≥2x+1恒成立，
所以函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=-x²+2x+1存在“分界線”．
方程為y=2x+1．（14分）

點評：本題考查導數(shù)函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地運用導數(shù)的性質(zhì)進行求解．