Question

已知圓C：（x-1）²+y²=8，過點A（-1，0），直線l將圓C分成弧長之比為1：2的兩段圓弧，則直線l的方程為

x-y+1=0或x+y+1=0

．

Answer 1

分析：由圓C的標準方程找出圓心C的坐標和半徑r，根據題意得到直線l斜率存在，設為k，再由直線l過A點，表示出直線l的方程，再由直線l將圓C分成弧長之比為1：2的兩段圓弧，得到直線l被圓C截得的弦所對的圓心角為周角的

1

3

，即為120°，根據半徑相等，得到等腰三角形的底角為30°，根據30°所對的直角邊等于斜邊的一半，可得出圓心距等于半徑的一半，利用點到直線的距離公式表示出圓心C到直線l的距離d，令d=

1

2

r列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，進而確定出直線l的方程．

解答：解：由圓C的方程（x-1）²+y²=8，得到圓心C為（1，0），半徑r=2

2

，
由直線l過A（-1，0），且斜率存在，設為k，可得直線l的方程為y-0=k（x+1），即kx-y+k=0，
∵直線l將圓C分成弧長之比為1：2的兩段圓弧，
∴直線l被圓截得的弦所對的圓心角為120°，
∴圓心C到直線l的距離d=

1

2

r=

2

，即

|2k|

k2+1

=

2

，
整理得：k²=1，
解得：k=1或k=-1，
則直線l的方程為x-y+1=0或x+y+1=0．
故答案為：x-y+1=0或x+y+1=0

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：直線的點斜式方程，圓的標準方程，垂徑定理，含30°直角三角形的性質，以及點到直線的距離公式，由題意得出圓心C到直線l的距離d等于半徑r的一半是解本題的關鍵．