Question

【題目】在平面四邊形中（如圖1），為的中點，，，且，，現將此平面四邊形沿折起使二面角為直二面角，得到立體圖形（如圖2），又為平面內一點，并且為正方形，設，，分別為，，的中點.

（Ⅰ）求證：面面；

（Ⅱ）在線段上是否存在一點，使得面與面所成二面角的余弦值為？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）存在一點符合題意，線段

【解析】

（Ⅰ）由已知條件得、，從而，從而面，同理，面，由此能證明面面；（Ⅱ）根據題意可建立如圖所示的空間直角坐標系，求出面的一個法向量，設，求出面的法向量為，根據法向量與二面角之間的關系即可得結果.

（Ⅰ）∵點、、分別為、、的中點，

∴、分別為、的中位線，∴、，

又正方形中，，∴，

又面，面，

∴面，

同理，面，

又，面，面，∴面面.

（Ⅱ）∵二面角為直二面角，又，，∴，

如圖建系，則有，，，，，

則，，

設面的法向量，

則，取，得，

設，，則，，

設面的法向量為，

則，

取，得，

由面與面所成二面角的余弦值為，得，

令，解得或，

令，解得；令，解得（舍去）

∴在線段上存在一點，此時，線段.