Question

已知在銳角△ABC中，a，b，c為角A，B，C所對的邊，且（b-2c）cosA=a-2acos²

B

2

．
（1）求角A的值；
（2）若a=

3

，則求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在銳角△ABC中，根據條件利用正弦定理可得 （sinB-2sinC）cosA=sinA（-cosB），化簡可得cosA
=

1

2

，由此可得A的值．
（2）由正弦定理可得

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=2，可得 b=2（sinB+sinC）=2

3

sin（B+

π

6

）．
再由

0＜B＜ π 2 0＜ 2π 3 -B＜ π 2

，求得B的范圍，再利用正弦函數的定義域和值域求得b+c的取值范圍．

解答：解：（1）在銳角△ABC中，根據（b-2c）cosA=a-2acos²

B

2

，利用正弦定理可得
（sinB-2sinC）cosA=sinA（-cosB），
化簡可得cosA=

1

2

，∴A=

π

3

．
（2）若a=

3

，則由正弦定理可得

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=2，
∴b=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（

2π

3

-B）]=3sinB+

3

cosB=2

3

sin（B+

π

6

）．
由于

0＜B＜ π 2 0＜ 2π 3 -B＜ π 2

，求得

π

6

＜B＜

π

2

，∴

π

3

＜B+

π

6

＜

2π

3

．
∴sin（B+

π

6

）∈（

3

2

，1]，∴b+c∈（3，2

3

]．

點評：本題主要考查正弦定理的應用，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．