Question

（2012•綿陽二模）已知關于x的方程x²+mx+m+n=0的兩根分別為橢圓和雙曲線的離心率．記分別以m、n為橫縱坐標的點P（m，n）表示的平面區(qū)域為D，若函數y=log_a（x+3）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D上的點，則實數a的取值范圍為（　　）

A．a＞2

B．a≥2

C．1＜a＜2

D．1＜a≤2

Answer 1

分析：根據關于x的方程x²+mx+m+n=0的兩根分別為橢圓和雙曲線的離心率，可得方程x²+mx+m+n=0的兩根，一根屬于（0，1），另一根屬于（1，+∞），從而可確定平面區(qū)域為D，進而利用函數y=log_a（x+3）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D上的點，可求實數a的取值范圍．

解答：解：構造函數f（x）=x²+mx+m+n
∵關于x的方程x²+mx+m+n=0的兩根分別為橢圓和雙曲線的離心率
∴方程x²+mx+m+n=0的兩根，一根屬于（0，1），另一根屬于（1，+∞）
∴

f(0)＞0 f(1)＜0

，∴

m+n＞0 1+2m+n＜0

∵直線m+n=0，1+2m+n=0的交點坐標為（-1，1）
∴要使函數y=log_a（x+3）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D上的點，則必須滿足1＜log_a（-1+3）
∴l(xiāng)og_a2＞1=log_aa，
∵a＞1
∴1＜a＜2
故選C．

點評：本題以方程根為載體，考查橢圓、雙曲線的幾何性質，考查數形結合的數學思想，確定平面區(qū)域是解題的關鍵．