Question

(本小題滿分12分)

如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=1，AB=BC，E、F分別為CD、PB的中點.

（1）求證：EF⊥平面PAB；

（2）求三棱錐的體積。.

Answer 1

（1）證明：連結(jié)EP，

        ∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD內(nèi)，∴PD⊥DE，又CE=ED，PD=AD=BC，

∴Rt△BCE≌Rt△PDE.∴PE=BE.

∵F為PB中點，∴EF⊥PB.

∵AB⊥平面PAD   ∴PA⊥AB.

∴在Rt△PAB中PF=AF，又PE=BE=EA，

∴△EFP≌△EFA,∴EF⊥FA.

∵PB、FA為平面PAB內(nèi)的相交直線. ∴EF⊥平面PAB. …………………6分

（2）∵EF⊥PB且PB⊥AF，∴PB⊥平面AEF………………………………………8分

     直角三角形AEF中，∵EF=,AF=1, ∴，PF=1……………10分

     ∴……………………………………12分