Question

設a，b，c∈（0，1），則a（1-b），b（1-c），c（1-a）（　�。�

• A、都不大于

  1

  4

• B、都不小于

  1

  4

• C、至少有一個不大于

  1

  4

• D、至少有一個不小于

  1

  4

Answer 1

分析：先假設a（1-b），b（1-c），c（1-a）都大于

1

4

，即

a(1-b)

＞

1

2

，

b(1-c)

＞

1

2

，

c(1-c)

＞

1

2

，將三式相加，得

a(1-b)

+

b(1-c)

+

c(1-c)

＞

3

2

，又因為

a(1-b)

≤ 

a+1-b

2

，

b(1-c)

≤

b+1-c

2

，

c(1-a)

≤

c+1-a

2

，三式相加，得

a(1-b)

+

b(1-c)

+

c(1-c)

≤

3

2

得出矛盾，從而得出假設不成立，即可得到正確選項．

解答：解：假設a（1-b），b（1-c），c（1-a）都大于

1

4

即a（1-b）＞

1

4

，b（1-c）＞

1

4

，c（1-a）＞

1

4

，
∴

a(1-b)

＞

1

2

，

b(1-c)

＞

1

2

，

c(1-c)

＞

1

2

將三式相加，得

a(1-b)

+

b(1-c)

+

c(1-c)

＞

3

2

又因為

a(1-b)

≤ 

a+1-b

2

，

b(1-c)

≤

b+1-c

2

，

c(1-a)

≤

c+1-a

2

三式相加，得

a(1-b)

+

b(1-c)

+

c(1-c)

≤

3

2

所以假設不成立，
故選C．

點評：本題考查不等式的性質和應用、反證法，解題時要注意均值不等式的合理運用．