Question

設A，B，C∈（0，

π

2

），且sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，則B-A等于（　　）

• A．-

  π

  3

• B．

  π

  3

• C．-

  π

  6

• D．

  π

  3

  或-

  π

  3

Answer 1

分析：由已知的兩等式分別表示出sinC和cosC，利用同角三角函數間的基本關系得到sin²C+cos²C=1，將表示出的sinC和cosC代入利用完全平方公式展開，并利用同角三角函數間的基本關系及兩角和與差的余弦函數公式化簡，求出cos（A-B）的值，由正弦定理化簡sinC=sinA-sinB得：c=a-b＞0，即a＞b，再利用大邊對大角得到A大于B，即A-B大于0，利用特殊角的三角函數值求出A-B的度數，進而確定出B-A的度數．

解答：解：∵sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，
∴sinC=sinA-sinB，cosC=cosB-cosA，
又sin²C+cos²C=1，
∴（sinA-sinB）²+（cosB-cosA）²=1，
即sin²A-2sinAsinB+sin²B+cos²B-2cosAcosB+cos²A=1，
整理得：cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=

1

2

，
由正弦定理化簡sinC=sinA-sinB得：c=a-b＞0，即a＞b，
又A，B，C∈（0，

π

2

），
∴0＜A-B＜

π

2

，
則A-B=

π

3

，即B-A=-

π

3

．
故選A

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，正弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵．