Question

14、已知三個平面兩兩相交，有三條交線，求證這三條交線交于一點或互相平行．

Answer 1

分析：三個平面兩兩相交，有三條交線，這三條交線交于一點，或互相平行．證明時要分三條交線交于一點，和三條交線互相平行兩種情況；（1）證三線交于一點時，先由兩線交于一點，再證這一點也在第三條直線上；（2）證三線平行時，先由兩線平行，再證第三條直線與這兩條平行線中的任一條直線平行即可．

解答：證明：設三個平面為α，β，γ，
且α∩β=c，α∩γ=b，β∩γ=a；∵α∩β=c，α∩γ=b，∴c?α，b?α；
∴c與b交于一點，或互相平行．
（1）如圖①，若c與b交于一點，可設c∩b=P．
由P∈c，且c?β，有P∈β；又由P∈b，b?γ，有P∈γ；∴P∈β∩γ=a；
所以，直線a，b，c交于一點（即P點）．
圖①；       圖②
（2）如圖②，若c∥b，則由b?γ，且c?γ，∴c∥γ；又由c?β，
且β∩γ=a，∴c∥a；所以a，b，c互相平行．

點評：本題考查了空間中的直線平行，或相交的證明，特別是幾何符號語言的應用，是有難度的問題．