Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|-ax，其中0＜a＜1為常數(shù)
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）試推斷函數(shù)f（x）是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把f（x）的解析式代入到f（x）＜0得到一個(gè)不等式，當(dāng)x小于等于0時(shí)得到不等式不成立；當(dāng)x大于0時(shí)，對(duì)不等式的兩邊分別平方，移項(xiàng)后利用平方差公式分解因式，根據(jù)a大于0小于1 求出不等式的解集即可．
（2）函數(shù)可變?yōu)閒（x）=，根據(jù)a的范圍，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，得出答案．
解答：解：（1）不等式即為|x-a|＜ax，0＜a＜1，若x≤0，則ax≤0，故不等式不成立；
若x＞0，不等式化為（x-a）²＜a²x²，即[（1+a）x-a][（1-a）x-a]＜0，
由0＜a＜1可得，，故不等式解集為{x|}．
（2）由條件得：f（x）=，
∵1＞a＞0，
∴-（1+a）＜0，1-a＞0，故函數(shù)f（x）在（-∞，a）上是減函數(shù)，且在[a，+∞）上是增函數(shù)．
故當(dāng) x=a 時(shí)，f（x）存在最小值f（a）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了其他不等式的解法，分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題還考查函數(shù)的最值及其幾何意義，解不等式，分類討論的思想，注意根據(jù)函數(shù)的形式判斷出函數(shù)中參數(shù)的取值范圍，是一道綜合題．