【題目】已知函數
， 
.
（1）若曲線
在
處的切線與直線
垂直，求實數
的值；
（2）設
，若對任意兩個不等的正數
，都有
恒成立，求實數
的取值范圍；
（3）若
上存在一點
，使得
成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】試題分析：（1）先根據導數幾何意義得
，解得實數
的值；（2）設
，構造函數
，則轉化為
在
上為增函數，即得
在
上恒成立，參變分離得
，最后根據二次函數最值求實數
的取值范圍；（3）先化簡不等式，并構造函數
，求導數，按導函數零點與定義區間大小關系討論函數單調性，根據單調性確定函數最小值，根據最小值小于零解得實數
的取值范圍.
試題解析：解：（1）由
，得
.
由題意， 
，所以
.
（2）
.
因為對任意兩個不等的正數
，都有
恒成立，設
，則
即
恒成立.
問題等價于函數
，
即
在
上為增函數，
所以
在
上恒成立.即
在
上恒成立.
所以
，即實數
的取值范圍是
.
（3）不等式
等價于
，整理得
.構造函數
，
由題意知，在
上存在一點
，使得
.
.
因為
，所以
，令
，得
.
①當
，即
時， 
在
上單調遞增.只需
，解得
.
②當
即
時， 
在
處取最小值.
令
即
，可得
.
令
，即
，不等式
可化為
.
因為
，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.
③當
，即
時， 
在
上單調遞減，只需
，解得
.
綜上所述，實數
的取值范圍是
.
導學全程練創優訓練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C： 
(a>b>0)的離心率為
，短軸長為2.直線l：y＝kx＋m與橢圓C交于M，N兩點，又l與直線
， 
分別交于A，B兩點，其中點A在第一象限，點B在第二象限，且△OAB的面積為2(O為坐標原點).
(1)求橢圓C的方程；
(2)求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，一智能掃地機器人在
處發現位于它正西方向的
處和北偏東30°方向上的
處分別有需要清掃的垃圾，紅外線感應測量發現機器人到的距離比到的距離少0.4米，于是選擇沿
路線清掃，已知智能掃地機器人的直線行走速度為0.2
，忽略機器人吸入垃圾及在處旋轉所用時間，10秒鐘完成了清掃任務．
（1）、兩處垃圾的距離是多少？
（2）智能掃地機器人此次清掃行走路線的夾角
的正弦值是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著人口老齡化的到來，我國的勞動力人口在不斷減少，“延遲退休”已經成為人們越來越關注的話題，為了解公眾對“延遲退休”的態度，某校課外研究性學習小組在某社區隨機抽取了50人進行調查，將調查情況進行整理后制成下表：
年齡 | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
人數 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年齡 | [45,50) | [50,55) | [55,60) | [60,65) | [65,70) |
人數 | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
經調查年齡在［25,30),[55,60）的被調查者中贊成“延遲退休”的人數分別是3人和2人.現從這兩組的被調查者中各隨機選取2人，進行跟蹤調查．
（I）求年齡在［25,30）的被調查者中選取的2人都贊成“延遲退休”的概率；
（II）若選中的4人中，不贊成“延遲退休”的人數為
，求隨機變量
的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，圓
的普通方程為
. 在以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線
的極坐標方程為
.
（Ⅰ） 寫出圓 的參數方程和直線的直角坐標方程；
（ Ⅱ ） 設直線 與軸和
軸的交點分別為
，
為圓上的任意一點，求
的取值范圍.
【答案】(1)
;
.
(2)
.
【解析】【試題分析】(I)利用圓心和半徑,寫出圓的參數方程,將圓的極坐標方程展開后化簡得直角坐標方程.(II)求得
兩點的坐標, 設點
，代入向量,利用三角函數的值域來求得取值范圍.
【試題解析】
（Ⅰ）圓的參數方程為
（
為參數）.
直線的直角坐標方程為
.
（Ⅱ）由直線
的方程可得點
，點
.
設點，則 
.
.
由（Ⅰ）知，則 
.
因為
，所以
.
【題型】解答題
【結束】
23
【題目】選修4-5：不等式選講
已知函數
， 
.
（Ⅰ）若對于任意
， 
都滿足
，求
的值；
（Ⅱ）若存在
，使得
成立，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年2月9-25日，第23屆冬奧會在韓國平昌舉行.4年后，第24屆冬奧會將在中國北京和張家口舉行.為了宣傳冬奧會，某大學在平昌冬奧會開幕后的第二天，從全校學生中隨機抽取了120名學生，對是否收看平昌冬奧會開幕式情況進行了問卷調查，統計數據如下：
收看 | 沒收看 | |
男生 | 60 | 20 |
女生 | 20 | 20 |
(Ⅰ)根據上表說明，能否有
的把握認為，收看開幕式與性別有關？
(Ⅱ)現從參與問卷調查且收看了開幕式的學生中，采用按性別分層抽樣的方法選取8人，參加2022年北京冬奧會志愿者宣傳活動.
(ⅰ)問男、女學生各選取多少人？
(ⅱ)若從這8人中隨機選取2人到校廣播站開展冬奧會及冰雪項目宣傳介紹，求恰好選到一名男生一名女生的概率P.
附：
，其中
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠家具車間造
、
型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工梁道工序完成.已知木工做一張、型型桌子分別需要1小時和2小時，漆工油漆一張、型型桌子分別需要3小時和1小時；又知木工、漆工每天工作分別不得超過8小時和9小時，而工廠造一張、型型桌子分別獲利潤2千元和3千元.
(1)列出滿足生產條件的數學關系式，并畫出可行域；
(2)怎樣分配生產任務才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？
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