Question

（2012•湘潭模擬）若x+2y+

3

z=1，則x²+y²+z²的最小值為

1

8

．

Answer 1

分析：根據柯西不等式可得[(12+22+(

3

)2]（x²+y²+z²）≥(x+2y+

3

z)2，由此可得結論．

解答：解：根據柯西不等式可得[(12+22+(

3

)2]（x²+y²+z²）≥(x+2y+

3

z)2
∵x+2y+

3

z=1
∴x²+y²+z²≥

1

8

當且僅當x=

y

2

=

z

3

時，x²+y²+z²的最小值為

1

8

故答案為：

1

8

點評：柯西不等式的特點：一邊是平方和的積，而另一邊為積的和的平方，因此，當欲證不等式的一邊視為“積和結構”或“平方和結構”，再結合不等式另一邊的結構特點去嘗試構造．一般而言，“積和結構”或“平方和結構”越明顯，則構造越容易，而對于“積和結構”或“平方和結構”不夠明顯的問題，則須將原問題作適當變形，使“積和結構”或“平方和結構”明顯化，從而利用柯西不等式進行證明．