Question

【題目】已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，∠ABC=900，BC=2，AC=，且AA1⊥A1C，AA1=A1C.

（Ⅰ）求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小。

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)600

【解析】

（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足為D，由平面A1ACC1⊥平面ABC可得A1D⊥平面ABC，故∠A1AD即為A1A與平面ABC所成的角，解三角形可得∠A1AD=450即為所求．（Ⅱ）方法一：用幾何法，作出兩平面所成的二面角，解直角三角形可得所求角的大小．方法二：建立空間直角坐標系，求出兩平面的法向量，借助兩法向量夾角求出二面角的大小．

（Ⅰ）解：作A1D⊥AC，垂足為D，

∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC，

∴A1D⊥平面ABC，

∴∠A1AD即為A1A與平面ABC所成的角．

∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，

∴ ∠A1AD=450，

∴側(cè)棱A1A與底面ABC所成角為450．　

（Ⅱ）解法一：作DE⊥AB，垂足為E，連A1E，則有A1D⊥平面ABC，

由三垂線定理得A1E⊥AB，

∴ ∠A1ED是平面A1ABB1與平面ABC所成二面角的平面角.

由已知得AB⊥BC，所以ED∥BC.

又D是AC的中點，BC=2，AC=，

∴ DE=1，AD=A1D=，

在

∴∠A1ED=600，

∴側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小為600．

（Ⅱ）解法二：由（Ⅰ）可知⊥平面ABC，于是以為原點，過點平行于BC、AB的直線為x、y軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．

則.

設平面的法向量為，

由，得，

令，則，

∴．

又平面ABC的法向量為，

∴，

由圖形得側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角為銳角，

∴側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小為600．