Question

過拋物線y=x²上異于原點的任意兩點A、B所作的兩條切線交于點P，且交x軸于M、N（如圖），F為拋物線的焦點．
（Ⅰ） 求點P的坐標（用A、B的橫坐標x₁和x₂表示）；
（Ⅱ）求證：|FP|²=|FA|•|FB|；
（Ⅲ）設S_△OAB=λS_△PMN，試求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導函數，可得切線方程，從而可求點P的坐標；
（Ⅱ）由拋物線的定義，求出|FA|、|FB|，利用兩點間的距離公式，求出|FP|²，即可證得結論；
（Ⅲ）分別求出S_△OAB，S_△PMN，即可求λ的值．
解答：（Ⅰ）解：設A、B的橫坐標分別為x₁和x₂，則
由y=x²可得y=2x，所以兩條切線的方程分別為：
AP：，BP：，
聯立上述兩個方程解得；          …（4分）
（Ⅱ）證明：由拋物線的定義可知：，
∴；
另一方面，∵F ，，
∴=
∴|FP|²=|FA|•|FB|；                       …（8分）
（Ⅲ）解：在（Ⅰ）中所求得的兩條切線方程中分別令y=0，即求出：，，
∴，
又y_P=x₁x₂，∴；
AB的方程為：（x₁+x₂）x-y-x₁x₂=0，故點O到AB的距離為：，
∵，
∴，
∴S_△OAB=2S_△PMN，
∵S_△OAB=λS_△PMN，∴λ=2．                                      …（13分）
點評：本題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，考查拋物線的定義，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．