Question

在平面直角坐標系xoy中，拋物線y=x²上異于坐標原點O的兩不同點A，B滿足OA⊥OB，則直線AB必過定點（ ）
A．（1，0）
B．（0，1）
C．（2，0）
D．（0，2）

Answer 1

【答案】分析：設出AB的方程，A，B的坐標，進而把直線與拋物線方程聯立消去y，根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，進而利用拋物線方程求得y₁y₂=的表達式，進而根據AO⊥BO推斷出x₁x₂+y₁y₂=0，求得b，即可求出結果．
解答：解：顯然直線AB的斜率存在，記為k，AB的方程記為：y=kx+b，（b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線方程代入y=x²得：x²-kx-b=0，則有：
△=k²+4b＞0①，x₁+x₂=k②，x₁x₂=-b③，又y₁=x₁²，y₂=x₂²
∴y₁y₂=b²；
∵AO⊥BO，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
得：-b+b²=0且b≠0，
∴b=1，
∴直線AB比過定點（0，1）
故選B．
點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質，涉及到直線與圓錐線的問題一般是聯立方程，設而不求，屬于中檔題．