Question

【題目】已知數(shù)列滿足， ，其中， ， 為非零常數(shù).

（1）若， ，求證： 為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

（2）若數(shù)列是公差不等于零的等差數(shù)列.

①求實數(shù)， 的值；

②數(shù)列的前項和構(gòu)成數(shù)列，從中取不同的四項按從小到大排列組成四項子數(shù)列.試問：是否存在首項為的四項子數(shù)列，使得該子數(shù)列中的所有項之和恰好為2017？若存在，求出所有滿足條件的四項子數(shù)列；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）①， ， .②， ，

【解析】試題分析：（1）利用等比數(shù)列定義證明，即尋找與比例關(guān)系：利用 代入化簡可得.最后說明各項非零.（2）①令，2，3，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得 ，列出關(guān)于， 的二元一次方程組，解得， 的值；再驗證滿足題意. ②先求數(shù)列的前項和，再討論四項奇偶性：三個奇數(shù)一個偶數(shù)、或者一個奇數(shù)三個偶數(shù).將奇偶性代入化簡討論，直至確定.

試題解析：解：（1）當， 時， ，

.

又，不然，這與矛盾，

為2為首項，3為公比的等比數(shù)列，

， .

（2）①設(shè) ，

由得 ，

，

對任意恒成立.

令，2，3，解得， ， ， .

經(jīng)檢驗，滿足題意.

綜上， ， ， .

②由①知.

設(shè)存在這樣滿足條件的四元子列，觀察到2017為奇數(shù)，這四項或者三個奇數(shù)一個偶數(shù)、或者一個奇數(shù)三個偶數(shù).

1°若三個奇數(shù)一個偶數(shù)，設(shè)， ， ， 是滿足條件的四項，

則 ，

，這與1007為奇數(shù)矛盾，不合題意舍去.

2°若一個奇數(shù)三個偶數(shù)，設(shè)， ， ， 是滿足條件的四項，

則 ， .

由504為偶數(shù)知， ， ， 中一個偶數(shù)兩個奇數(shù)或者三個偶數(shù).

1）若， ， 中一個偶數(shù)兩個奇數(shù)，不妨設(shè)， ， ，

則 ，這與251為奇數(shù)矛盾.

2）若， ， 均為偶數(shù)，不妨設(shè)， ， ，

則，繼續(xù)奇偶分析知， ， 中兩奇數(shù)一個偶數(shù)，

不妨設(shè)， ， ，則 .

因為， 均為偶數(shù)，所以為奇數(shù)，不妨設(shè)，

當時， ， ，檢驗得， ， ，

當時， ， ，檢驗得， ， ，

當時， ， ，檢驗得， ， ，

即， ， ， 或者， ， ， 或者， ， ， 滿足條件，

綜上所述， ， ， 為全部滿足條件的四元子列.