Question

【題目】如圖，已知四棱錐，底面為平行四邊形，且，點M為的中點，，且平面平面.

（1）求證：平面平面；

（2）當直線與平面所成角的正切值為時，求四棱錐的體積及平面將四棱錐分成的兩部分的體積比.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據給出的條件和余弦定理求出的值，利用勾股定理可得，即可證明平面，即可證明平面平面；

（2）首先確定直線與平面所成角為，再求出，最后分別求出分成的兩部分的體積，求出比值.

解：（1）證明：∵，由余弦定理可得，

∴，

∴.

∵平面平面，

平面平面，

∴平面.

∵平面，

∴平面平面.

（2）過點P作，點H為中點，連接，

∵平面平面，平面平面，

平面，則即為直線與平面所成角.

在中，，

∴.

在中，，

可得，

故，

，

所以另一部分的體積

，

可知兩部分的體積比為

或.