Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+mx，當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）取得極大值．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）已知結(jié)論：若函數(shù)f（x）=ln（x+1）+mx在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，且a＞-1，則存在x∈（a，b），使得．試用這個結(jié)論證明：若-1＜x₁＜x₂，函數(shù)，則對任意x∈（x₁，x₂），都有f（x）＞g（x）；
（3）已知正數(shù)λ₁，λ₂，…，λ_n，滿足λ₁+λ₂+…+λ_n=1，求證：當(dāng)n≥2，n∈N時，對任意大于-1，且互不相等的實數(shù)x₁，x₂，…，x_n，都有f（λ₁x₁+λ₂x₂+…+λ_nx_n）＞λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+…+λ_nf（x_n）．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）取得極大值，即可求得實數(shù)m的值；
（2）令，則，根據(jù)函數(shù)f（x）在x∈（x₁，x₂）上可導(dǎo)，可得存在x∈（x₁，x₂），使得，從而，進(jìn)而可得h（x）＞0；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明，先證明當(dāng)n=2時，結(jié)論成立；再證明假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時結(jié)論成立，利用歸納假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立．
解答：（1）解：求導(dǎo)函數(shù)．
∵當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）取得極大值
∴f'（0）=0，得m=-1，此時．
當(dāng)x∈（-1，0）時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，+∞）時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）在x=0處取得極大值，故m=-1．…（3分）
（2）證明：令，…（4分）
則．
∵函數(shù)f（x）在x∈（x₁，x₂）上可導(dǎo)，
∴存在x∈（x₁，x₂），使得．
∵，
∴
∵當(dāng)x∈（x₁，x）時，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，∴h（x）＞h（x₁）=0；
∵當(dāng)x∈（x，x₂）時，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，∴h（x）＞h（x₂）=0；
故對任意x∈（x₁，x₂），都有f（x）＞g（x）．…（8分）
（3）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)n=2時，∵λ₁+λ₂=1，且λ₁＞0，λ₂＞0，∴λ₁x₁+λ₂x₂∈（x₁，x₂），∴由（Ⅱ）得f（x）＞g（x），
即，
∴當(dāng)n=2時，結(jié)論成立．…（9分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時結(jié)論成立，即當(dāng)λ₁+λ₂+…+λ_k=1時，f（λ₁x₁+λ₂x₂+…+λ_kx_k）＞λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+…+λ_kf（x_k）．
當(dāng)n=k+1時，設(shè)正數(shù)λ₁，λ₂，…，λ_k+1滿足λ₁+λ₂+…+λ_k+1=1，
令m=λ₁+λ₂+…+λ_k，，則m+λ_k+1n=1，且μ₁+μ₂+…+μ_k=1．
f（λ₁x₁+λ₂x₂+…+λ_kx_k+λ_k+1x_k+1）=f[m（μ₁x₁+…+μ_kx_k）+λ_k+1x_k+1]＞mf（μ₁x₁+…+μ_kx_k）+λ_k+1f（x_k+1）＞mμ₁f（x₁）+…+mμ_kf（x_k）+λ_k+1f（x_k+1）=λ₁f（x₁）+…+λ_kf（x_k）+λ_k+1f（x_k+1）…（13分）
∴當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立．
綜上由①②，對任意n≥2，n∈N，結(jié)論恒成立．…（14分）
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的極值點處導(dǎo)數(shù)為0，利用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進(jìn)行證明，綜合性強(qiáng)．