Question

已知函數y=

2x-1

x-1

（1）求此函數的值域；
（2）作出此函數的圖象（不列表）；
（3）寫出此函數的單調區間；
（4）指出此函數圖象的對稱中心坐標和對稱軸方程．

Answer 1

分析：（1）把已知的分式函數變形，使函數式只在分母中含有變量，則函數值域可求；
（2）變形后的函數解析式為y=2+

1

x-1

，該函數的圖象是把y=

1

x

的圖象先向右平移一個單位，再向上平移2個單位得到的；
（3）由圖象直接寫出函數的單調區間；
（4）寫出函數y=

1

x

的對稱中心和對稱軸方程，然后根據平移得到函數y=

2x-1

x-1

的對稱中心和對稱軸方程．

解答：解：（1）由y=

2x-1

x-1

=

2(x-1)+1

x-1

=2+

1

x-1

，因為

1

x-1

≠0，所以2+

1

x-1

≠2，
所以函數y=

2x-1

x-1

的值域為（-∞，2）∪（2，+∞）．
（2）函數y=

2x-1

x-1

=2+

1

x-1

，是把y=

1

x

的圖象先向右平移一個單位，再向上平移2個單位得到的，
所以其圖象如圖，

（3）函數y=

2x-1

x-1

的減區間為（-∞，1），（1，+∞）．
（4）函數y=

2x-1

x-1

的對稱中心為（1，2）；
函數y=

2x-1

x-1

=2+

1

x-1

，是把y=

1

x

的圖象先向右平移一個單位，再向上平移2個單位得到的，
而y=

1

x

的對稱軸方程是y=x和y=-x，所以函數y=

2x-1

x-1

的對稱軸方程是y=（x-1）+2和y=-（x-1）+2，
即為y=x+1和y=-x+3．

點評：本題考查了函數的圖象的變化問題，根據函數圖象的變化，由熟悉的反比例函數圖象得到題中分式函數的圖象，從而得到函數的值域、單調區間和對稱性，解答此題的關鍵是對函數解析式的變形，書寫單調區間時學生容易取并集而出錯，此題是基礎題．