Question

【題目】已知橢圓E： ，不經過原點O的直線l：y=kx+m（k＞0）與橢圓E相交于不同的兩點A、B，直線OA，AB，OB的斜率依次構成等比數列．
（Ⅰ）求a，b，k的關系式；
（Ⅱ）若離心率 且 ，當m為何值時，橢圓的焦距取得最小值？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 由直線OA，AB，OB的斜率依次構成等比數列，
得 ，
由 ，可得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0，
故△=（2a2km）2﹣4（b2+a2k2）（a2m2﹣a2b2）＞0，
即b2﹣m2+a2k2＞0，
又x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
則 ，
即 ，
即 ，
又直線不經過原點，所以m≠0，
所以b2=a2k2即b=ak；
（Ⅱ）若 ，則 ， ，
又k＞0，得 ，
則x1+x2=﹣ =﹣ m，x1x2= = m2﹣2c2 ，
|AB|= =
= ，
化簡得 （△＞0恒成立），
當 時，焦距最小
【解析】（Ⅰ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），運用等比數列的中項的性質，以及聯立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理，化簡整理，即可得到b=ak；（Ⅱ）運用離心率公式，可得斜率k，再由弦長公式，結合條件，運用基本不等式即可得到所求最值，以及m的取值．