Question

【題目】下列命題正確的個數為（ ）

（1）已知定點滿足，動點P滿足，則動點P的軌跡是橢圓；

（2）已知定點滿足，動點M滿足，則動點M的軌跡是一條射線；

（3）當1＜k＜4時，曲線C：=1表示橢圓；

（4）若動點M的坐標滿足方程，則動點M的軌跡是拋物線。

A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個

Answer 1

【答案】B

【解析】

（1）當P不在直線F1F2上時或在直線F1F2上且在F1、F2兩點之外時，都有|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，只有點P在直線F1F2上且在F1、F2兩點之間（或與F1、F2重合）時，符合題意．由此得到答案．

（2）根據條件結合雙曲線的定義只有點M在直線F1F2上且在F1、F2兩點之外時才滿足，由此得到一條射線．

（3）根據曲線方程的特點，結合橢圓、圓的標準方程分別判斷即可．

（4）把已知方程變形為，此式不滿足拋物線的定義，從而得到答案．

（1）∵|PF1|+|PF2|＝8，且|F1F2|＝8

∴|PF1|+|PF2|＝|F1F2|，只有當點P在直線F1F2上且在F1、F2兩點之間（或與F1、F2重合）時，符合題意．∴點P的軌跡是線段F1F2．故（1）錯誤．

（2）∵|F1F2|＝8，在平面內動點M滿足|MF1|﹣|MF2|＝8=|F1F2|，∴點M在直線F1F2上且在點F1F2的延長線上時符合題意．∴M點的軌跡是一條射線，故（2）正確．

（3）當k時，4﹣k＝k﹣1，此時曲線表示為圓，∴（3）錯誤．

（4）∵動點M的坐標滿足方程5|3x+4y|，變形為，

∴上式表示的是動點M（x，y）到定點（0，0）與定直線3x+4y＝0的距離相等，但定點（0，0）在定直線3x+4y＝0上，不滿足拋物線的定義，所以動點M的軌跡是一條直線．故（4）錯誤．

綜上，正確的只有（2），

故選：B．