Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，左焦點、右焦點都在軸上，點是橢圓上的動點，的面積的最大值為，在軸上方使成立的點只有一個．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的兩直線，分別與橢圓交于點，和點，，且，比較與的大小．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據已知設橢圓的方程為，由已知分析得，解得，即得橢圓的方程為.（2）先證明直線的斜率為0或不存在時，.再證明若的斜率存在且不為0時，.

（1）根據已知設橢圓的方程為，.

在軸上方使成立的點只有一個，

∴在軸上方使成立的點是橢圓的短軸的端點.

當點是短軸的端點時，由已知得，

解得.

∴橢圓的方程為.

（2）.

若直線的斜率為0或不存在時，且或且.

由，

得.

若的斜率存在且不為0時，設：，

由得，

設，，則，，

于是 .

同理可得.

∴.

∴.

綜上.