Question

已知函數(shù)f（x）=log₂

x-1

x+1

，g（x）=2ax+1-a，又h（x）=f（x）+g（x）
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；（2）試討論h（x）的奇偶性；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=log₂g（x）有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)讓函數(shù)解析式有意義的原則，結(jié)合對數(shù)函數(shù)真為大于0，構(gòu)造關(guān)于x的不等式，解不等式可得答案．
（2）根據(jù)已知可分a=1和a≠1時(shí)兩種情況，分別討論h（-x）+h（x）與h（-x）-h（x）與0的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得答案
（3）方程f（x）=log₂g（x）有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即

x-1

x+1

=2ax+1-a在（-∞，-1）∪（1，+∞）上有兩個(gè)不等的根，即a=-

2

2x2+x+1

在（-∞，-1）∪（1，+∞）上有兩個(gè)不等的根，借助函圖象易分析出a的取值范圍．

解答：解：（1）要使函數(shù)f（x）=log₂

x-1

x+1

的解析式有意義
則

x-1

x+1

＞0
解得x＜-1，或x＞1
即函數(shù)f（x）=log₂

x-1

x+1

的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞），
（2）當(dāng)a=1時(shí)，h（x）=f（x）+g（x）=log₂

x-1

x+1

+2x，
∵h(yuǎn)（-x）+h（x）=0，
∴h（x）為奇函數(shù)；
當(dāng)a≠1時(shí)，h（x）=f（x）+g（x）=log₂

x-1

x+1

+2ax+1-a，
∵h(yuǎn)（-2）+h（2）=2-2a≠0
故h（x）為非奇函數(shù)
令h（-3）-h（3）=12a-2=0，則a=

1

6

此時(shí)，h（-2）-h（2）≠0
故h（x）為非偶函數(shù)
綜上h（x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；
（3）f（x）=log₂g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于

x-1

x+1

=2ax+1-a在（-∞，-1）∪（1，+∞）上有兩個(gè)不等的根；
即a=-

2

2x2+x-1

在（-∞，-1）∪（1，+∞）上有兩個(gè)不等的根；
由y=-

2

2x2+x-1

在（-∞，-1）∪（1，+∞）上的圖象可得

a的取值范圍-1＜a＜0

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)鍵，函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性，其中（3）中將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與y=a交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并用圖象法進(jìn)行解答是轉(zhuǎn)化思想是解非基本方程是的重要應(yīng)用．