Question

已知動點M到定點(1，0)的距離比M到定直線x＝－2的距離小1．

(1)求證：M點軌跡為拋物線，并求出其軌跡方程；

(2)大家知道，過圓上任意一點P，任意作相互垂直的弦PA，PB，則弦AB必過圓心(定點)，受此啟發，研究下面的問題：

①過(1)中的拋物線的頂點O任作相互垂直的弦OA，OB，則弦AB是否經過一個定點？若經過定點(設為Q)，請求出Q點的坐標，否則說明理由；

②研究：對于拋物線y²＝2px上頂點以外的定點是否也有這樣的性質？請提出一個一般的結論，并證明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)到定點的距離等于到定直線的距離 　　軌跡為拋物線； 　　軌跡方程為． 　　(2)①設， 　　由得， 　　同理 　　因此方程為 　　即 　　令得 　　 　　②設點為上一定點，則 　　過作互相垂直的弦 　　設，，則，， 　　 　　化簡得即 　　假設過定點Q(a，b)，則有 　　即化簡得 　　比較（*）、（**）得， 　　過定點