Question

已知動點M到定點F（1，0）的距離與到定直線l：x=-1的距離相等，點C在直線l上．
（1）求動點M的軌跡方程；
（2）設過定點F，法向量

n

=(4，-3)的直線與（1）中的軌跡相交于A，B兩點且點A在x軸的上方，判斷∠ACB能否為鈍角并說明理由．進一步研究∠ABC為鈍角時點C縱坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的定義一動點M到定點的距離與到定直線的距離相等，M的軌跡為拋物線，可知M的軌跡是以點F為焦點，直線l為準線的拋物線，根據F的坐標求出p的值，即可確定出拋物線的方程；
（2）根據已知的法向量得到直線AB方程的斜率，再由F的坐標即可寫出直線AB的方程，與（1）求出的拋物線方程聯立，求出x與y的值，確定出點A和點B的坐標，設出點C的坐標，進而表示出

CA

h和

CB

，利用平面向量的數量積的運算法則表示出兩向量的數量積，變形后得到其數量積大于等于0，故∠ACB不可能為鈍角；表示出過點B與直線AB的直線，令x=-1求出此時y的值，則y小于求出的值即可得到∠ABC為鈍角時點C縱坐標的取值范圍．

解答：解：（1）因為動點M到定點F（1，0）的距離與到定直線l：x=-1的距離相等，
所以M的軌跡是以點F為焦點，直線l為準線的拋物線，
則軌跡方程為y²=4x；（4分）
（2）由題意，直線AB的方程為4x-3y-4=0（5分）
故A、B兩點的坐標滿足方程組

y2=4x 4x-3y-4=0

，
解得A（4，4），B(

1

4

，-1)，
設C（-1，y），則

CA

=(5，4-y)，

CB

=(

5

4

，-1-y)，（8分）
由

CA

•

CB

=

25

4

+(4-y)(-1-y)=(y-

3

2

)2≥0，
所以∠ACB不可能為鈍角．（10分）
過B垂直于直線AB的直線方程為3x+4y+

13

4

=0，
令x=-1，解得y=-

1

16

，
當∠ABC為鈍角時，點C縱坐標的取值范圍是：y＜-

1

16

(y≠-

8

3

)．（13分）

點評：本題考查拋物線的定義與應用，及軌跡方程的求法，關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用平面向量的數量積的運算法則進行求解．本題容易忽略y≠-

8

3

的情況．