Question

在數列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4，且a_n，b_n，a_n+1成等差數列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數列（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄；
（Ⅱ）求{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）證明：

1

a1+b1

+

1

a2+b2

+…+

1

an+bn

＜

5

12

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件得2bn=an+an+1，

a

2 n+1

=bnbn+1，代入計算，可得a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄；
（Ⅱ）先猜想{a_n}，{b_n}的通項公式，再用數學歸納法證明；
（Ⅲ）利用放縮法，再利用裂項法求和，即可證得結論．

解答：（Ⅰ）解：由條件得2bn=an+an+1，

a

2 n+1

=bnbn+1
由此可得a₂=6，b₂=9，a₃=12，b₃=16，a₄=20，b₄=25．…（4分）
（Ⅱ）解：猜測an=n(n+1)，bn=(n+1)2．                           …（5分）
用數學歸納法證明：
①當n=1時，由上可得結論成立．
②假設當n=k時，結論成立，即 ak=k(k+1)，bk=(k+1)2，
那么當n=k+1時，ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2)，bk+1=

a 2 k+2

bk

=(k+2)2．
所以當n=k+1時，結論也成立．
由①②，可知an=n(n+1)，bn(n+1)2對一切正整數都成立．…（9分）
（Ⅲ）證明：

1

a1+b1

=

1

6

＜

5

12

．
n≥2時，由（Ⅰ）知a_n+b_n=（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n．…（11分）
故

1

a1+b1

+

1

a2+b2

+…+

1

an+bn

＜

1

6

+

1

2

(

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

)=

1

6

+

1

2

(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

6

+

1

2

(

1

2

-

1

n+1

)＜

1

6

+

1

4

=

5

12

…（14分）

點評：本題考查數列的通項，考查數學歸納法的運用，考查不等式的證明，確定數列的通項，正確運用放縮法是關鍵．