Question

【題目】如圖，在半徑為2，圓心角為 的扇形金屬材料中剪出一個四邊形MNQP，其中M、N兩點分別在半徑OA、OB上，P、Q兩點在弧 上，且OM=ON，MN∥PQ．
（1）若M、N分別是OA、OB中點，求四邊形MNQP面積的最大值．
（2）PQ=2，求四邊形MNQP面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OP，OQ，則四邊形MNQP為梯形．

設∠AOP=∠BOQ=θ∈（0， ），則∠POQ= ﹣2θ，且此時OM=ON=1，

四邊形MNQP面積S= sinθ+ sinθ+ ×2sin（ ﹣2θ）﹣ =﹣4sin2θ+2sinθ+ ，

∴sinθ= ，S取最大值

（2）解：設OM=ON=x∈（0，2），

由PQ=2可知∠POQ= ，∠AOQ=∠BOP= ，

∴sin = ，

∴四邊形MNQP面積S= x+ x+ ﹣ x2=﹣ x2+ x+ ，

∴x= ，S取最大值為

【解析】（1）設∠AOP=∠BOQ=θ∈（0， ），則∠POQ= ﹣2θ，且此時OM=ON=1，利用分割法，即可求四邊形MNQP面積的最大值．（2）PQ=2，可知∠POQ= ，∠AOQ=∠BOP= ，利用分割法，即可求四邊形MNQP面積的最大值．
【考點精析】本題主要考查了三角函數的最值的相關知識點，需要掌握函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，才能正確解答此題．