Question

【題目】已知拋物線，直線與拋物線交于，兩點，分別過，作拋物線的切線，兩切線交于點.

（1）若直線變動時，點始終在以為直徑的圓上，求動點的軌跡方程；

（2）設圓，若直線與圓相切于點（點在線段上）.是否存在點使得？若存在，求出點坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；點

【解析】

（1）利用導數可求得切線的方程，進而得到，由可求得，進而得到軌跡方程；

（2）設直線方程為，與拋物線方程聯立，利用可求得；根據直線與圓相切可求得，進而得到方程，確定點坐標.

（1）設點，，，

由得：，，

切線方程為：，即；

切線方程為：，即；

，，兩式消去得：，

始終在以為直徑的圓上，，，，

點的軌跡方程為.

（2）由題意可知：直線斜率存在，設直線方程為：，

直線與圓相切，，即，

設點，，

由得：，則，，

，，，解得：，

，直線方程為：，，

即存在點，使得.