Question

（本小題滿分12分）

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ ACB=，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.

（Ⅰ）若Ｍ是線段ＡＤ的中點，求證：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;

（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．

Answer 1

（I）證法一：

因為EF//AB，FG//BC，EG//AC，，

所以∽

由于AB=2EF，

因此，BC=2FC，

連接AF，由于FG//BC，

在中，M是線段AD的中點，

則AM//BC，且

因此FG//AM且FG=AM，

所以四邊形AFGM為平行四邊形，

因此GM//FA。

又平面ABFE，平面ABFE，

所以GM//平面AB。

證法二：

因為EF//AB，FG//BC，EG//AC，，

所以∽

由于AB=2EF，

因此，BC=2FC，

取BC的中點N，連接GN，

因此四邊形BNGF為平行四邊形，

所以GN//FB，

在中，M是線段AD的中點，連接MN，

則MN//AB，

因為

所以平面GMN//平面ABFE。

又平面GMN，

所以GM//平面ABFE。

   （II）解法一：

因為，

又平面ABCD，

所以AC，AD，AE兩兩垂直，

分別以AC，AD，AE所在直線為x軸、y軸和z軸，建立如圖所法的空間直角坐標系，

不妨設

則由題意得A（0，0，0，），B（2，-2，0），C（2，0，0，），E（0，0，1），

所以

又

所以

設平面BFC的法向量為

則

所以取

所以

設平面ABF的法向量為，

則

所以

則，

所以

因此二面角A—BF—C的大小為

解法二：

由題意知，平面平面ABCD，

取AB的中點H，連接CH，

因為AC=BC，

所以，

則平面ABFE，

過H向BF引垂線交BF于R，連接CR，

則

所以為二面角A—BF—C的平面角。

由題意，不妨設AC=BC=2AE=2。

在直角梯形ABFE中，連接FH，

則，又

所以

因此在中，

由于

所以在中，

因此二面角A—BF—C的大小為