Question

已知a＞0，f（x）=ax²-2x+1+ln（x+1），l是曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線．
（1）求切線l的方程；
（2）若切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=0處的導數，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，化成斜截式即可．
（2）將切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點等價于方程ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1即ax²-x+ln（x+1）=0有且只有一個實數解．
令h（x）=ax²-x+ln（x+1），求出h'（x），然后討論a與

1

2

的大小，研究函數的單調性，求出滿足使方程h（x）=0有一解x=0的a的取值范圍即可．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²-2x+1+ln（x+1）∴f（0）=1
∴f'（x）=

2ax2+(2a-2)x-1

x+1

∴f′（0）=-1
切點p（0，1），切線l的斜率為-1∴切線l的方程：y=-x+1；
（2）切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點等價于方程
ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1即ax²-x+ln（x+1）=0有且只有一個實數解．
令h（x）=ax²-x+ln（x+1），∵h（0）=0
∴方程h（x）=0有一解x=0
h'（x）=2ax-1+

1

x+1

=

2ax2+(2a-1)x

x+1

=

2ax[x-( 1 2a -1)]

x+1

①若a=

1

2

，則h'（x）=

x2

x+1

≥0（x＞-1），
∴h（x）在（-1，+∞）上單調遞增，
∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；
②若0＜a＜

1

2

，則h′（x）=0兩根x₁=0，x₂=

1

2a

-1＞0

∴h(

1

2a

-1)＜h（0）=0，而h(

1

a

)＞0
∴方程h（x）=0在(

1

2a

-1，+∞)
上還有一解，則h（x）=0解不唯一；
③若a＞

1

2

，則h′（x）=0兩根x₁=0，x₂=

1

2a

-1∈（-1，0）
同理可得方程h（x）=0在(-1，

1

2a

-1)上還有一解，
則h（x）=0解不唯一
綜上，當切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點時，a=

1

2

．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數的單調性，同時考查了轉化與劃歸的思想，以及計算能力，屬于中檔題，綜合題．