Question

設f（x）=x³-

x2

2

-2x+5．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）當x∈[1，2]時，f（x）＜m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的單調區間可用導數法求，先求出f（x）的導數，令其大于0，求出函數的增區間，令導數小于0求出函數的減區間．
（2）當x∈[1，2]時，f（x）＜m恒成立，求實數m的取值范圍即求函數f（x）=x³-

x2

2

-2x+5的最大值的問題，由（1）知，函數f（x）=x³-

x2

2

-2x+5的最大值在x=2處取，求出f（2）=7．可得m＞7．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-x-2=0，得x=1，-

2

3

．
在（-∞，-

2

3

）和[1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）為增函數；
在（-

2

3

，1）上f′（x）＜0，f（x）為減函數．
所以所求f（x）的單調增區間為（-∞，-

2

3

]和[1，+∞），單調減區間為[-

2

3

，1]．
（2）由（1）知，當x∈[1，2]時，f′（x）＞0，
∴f（x）為增函數，
∴f（x）≤f（2）=7．
∴m＞7時，對任意的x∈[1，2]，f（x）＜m恒成立，．
故實數m的取值范圍是m＞7．

點評：本題考查用導數求函數的單調性及最值，這是導數的重要運用．