Question

（本題滿分12分）
把邊長為的等邊三角形鐵皮剪去三個(gè)相同的四邊形（如圖陰影部分）后,用剩余部分做成一個(gè)無蓋的正三棱柱形容器(不計(jì)接縫)，設(shè)容器的高為，容積為.

（Ⅰ）寫出函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求當(dāng)x為多少時(shí)，容器的容積最大？并求出最大容積.

Answer 1

（Ⅰ），定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/54/0/1b5vc4.png" style="vertical-align:middle;" />。（Ⅱ）容器高為時(shí)，容器的容積最大為.

解析試題分析：（Ⅰ）因?yàn)槿萜鞯母邽閤，則做成的正三棱柱形容器的底邊長為    ----2分.
則   .            ---------4分
函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/54/0/1b5vc4.png" style="vertical-align:middle;" />.         --------- 5分
（Ⅱ）實(shí)際問題歸結(jié)為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值點(diǎn).
先求的極值點(diǎn).
在開區(qū)間內(nèi)，-----------6分
令，即令，解得.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/bd/d/1yauj3.png" style="vertical-align:middle;" />在區(qū)間內(nèi)，可能是極值點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.            ------------8分
因此是極大值點(diǎn)，且在區(qū)間內(nèi)，是唯一的極值點(diǎn)，
所以是的最大值點(diǎn)，并且最大值   
即當(dāng)正三棱柱形容器高為時(shí)，容器的容積最大為.----------12分
考點(diǎn)：函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值。
點(diǎn)評：本題主要考查的知識點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，其中解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知求出棱柱的底面面積和高，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式，建立數(shù)學(xué)模型．求解析式的時(shí)候，要記得求函數(shù)的定義域。