Question

已知雙曲線C：=1(a＞0,b＞0)，B是右頂點，F是右焦點，點A在x軸正半軸上，且||、||、||成等比數列，過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為P.

（1）求證：·=·；

（2）若l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點D、E，求雙曲線離心率e的取值范圍.

Answer 1

(1)證明：欲證·=·,只需證·（-）=0，即證·（+）=·=0，即證⊥.∵||²=||||，∴a²=||c.

∴||=.∴A(,0).

∵PF⊥OP,∴l_FP:y=-(x-c).

由解得.

∴⊥.

∴原命題得證.

(2)解析：若l與雙曲線兩支各有一交點，則由漸近線性質得k_FP＞-,即-＞-.∴a²＜b²=c²-a².

∴2a²＜c².∴e=＞.