Question

隨機將1，2，…，2n（n∈N^*，n≥2）這2n個連續正整數分成A、B兩組，每組n個數，A組最小數為a₁，最大數為a₂；B組最小數為b₁，最大數為b₂；記ξ=a₂-a₁，η=b₂-b₁．
（1）當n=3時，求ξ的分布列和數學期望；
（2）C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”，求事件C發生的概率P（C）；
（3）對（2）中的事件C，

.

C

表示C的對立事件，判斷P（C）和P（

.

C

）的大小關系，并說明理由．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（1）當n=3時，ξ的取值可能為2，3，4，5，求出隨機變量ξ的分布列，代入數學期望公式可得其數學期望Eξ．
（2）根據C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”，利用分類加法原理，可得事件C發生的概率P（C）的表達式；
（3）判斷P（C）和P（

.

C

）的大小關系，即判斷P（C）和

1

2

的大小關系，根據（2）的公式，可得答案．

解答： 解：（1）當n=3時，ξ的取值可能為2，3，4，5
其中P（ξ=2）=

4

C 3 6

=

1

5

，
P（ξ=3）=

6

C 3 6

=

3

10

，
P（ξ=4）=

6

C 3 6

=

3

10

，
P（ξ=5）=

4

C 3 6

=

1

5

，
故隨機變量ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5
P	1 5	3 10	3 10	1 5

ξ的數學期望E（ξ）=2×

1

5

+3×

3

10

+4×

3

10

+5×

1

5

=

7

2

；
（2）∵C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”，
∴P（C）=2×

1+1+ C 1 2 + C 2 4 + C 3 6 +…+ C n-2 2(n-2)

C n 2n

（3）當n=2時，P（C）=2×

1+1

C 2 4

=

2

3

＞

1

2

，此時P（

.

C

）＜

1

2

；
即P（

.

C

）＜P（C）；
當n≥3時，P（C）=2×

1+1+ C 1 2 + C 2 4 + C 3 6 +…+ C n-2 2(n-2)

C n 2n

＜

1

2

，此時P（

.

C

）＞

1

2

；
即P（

.

C

）＞P（C）；

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．